Portfolio Selection¶
| Auteurs | Harry M. Markowitz |
| Année | 1952 |
| Revue ou source | The Journal of Finance, vol. 7, no 1 (mars 1952), p. 77-91 |
| Lien | http://www.efalken.com/LowVolClassics/markowitz_JF1952.pdf (fac-similé JSTOR de l'article publié, consulté et lu intégralement le 2026-09-01) ; notice de l'éditeur : https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1111/j.1540-6261.1952.tb01525.x |
| Statut de réplication | non commencé |
La question de recherche¶
Quelle règle de choix de portefeuille explique et justifie la diversification ? Markowitz pose que la sélection se fait en deux étapes : d'abord former des croyances sur l'avenir des titres à partir de l'observation, ensuite passer de ces croyances à un portefeuille. Il annonce dès la première page qu'il ne traite que la seconde (p. 77). C'est en fermeture, p. 91, qu'il renvoie la première à « another story », dont il dit n'avoir lu que la première page du premier chapitre.
La tension qu'il résout est simple. La règle alors reçue, maximiser la valeur actualisée des rendements anticipés, ne recommande jamais de diversifier. Or la diversification est observée et sensée. Une règle qui ne l'implique pas doit donc être rejetée, comme hypothèse descriptive et comme maxime.
L'intuition économique¶
Le rendement espéré d'un portefeuille est linéaire dans les poids, sa variance ne l'est pas. C'est toute la mécanique de l'article. Maximiser une grandeur linéaire sous des poids qui somment à un donne toujours une solution en coin : tout l'argent sur le titre au meilleur rendement anticipé. Markowitz le démontre en trois lignes, page 78. Ajouter la variance comme grandeur indésirable brise cette linéarité, parce que la variance d'une somme pondérée fait intervenir les covariances, la mesure de la tendance de deux titres à dévier ensemble de leur moyenne.
Le mécanisme qui fait exister le gain est donc l'imparfaite corrélation entre titres, et rien d'autre. Deux portefeuilles de même variance combinés donnent typiquement une variance moindre, et Markowitz précise en note 12 le seul cas où ce n'est pas vrai : la corrélation parfaite. C'est aussi ce qui ferait disparaître le gain. Si les rendements étaient parfaitement corrélés, l'ensemble efficient se réduirait à des portefeuilles non diversifiés, et la règle rejoindrait celle qu'elle remplace.
Markowitz écarte au passage une intuition concurrente, celle de la loi des grands nombres. Répartir sur beaucoup de titres n'annule pas la variance : « The returns from securities are too intercorrelated. Diversification cannot eliminate all variance » (p. 79). D'où sa conséquence pratique, énoncée p. 89 : il ne suffit pas de détenir soixante titres, il faut éviter ceux dont les covariances mutuelles sont fortes, donc diversifier entre industries plutôt qu'à l'intérieur d'une seule.
Les données¶
Aucune. L'article ne contient ni série de rendements, ni tableau de chiffres, ni exemple numérique. Vérifié par lecture intégrale du fac-similé JSTOR le 2026-09-01 : les seules figures sont sept schémas géométriques sans échelle chiffrée.
Markowitz dit seulement d'où les paramètres devraient venir. Il suggère de partir des moyennes et covariances observées sur une période passée, puis d'ajuster à la main. Sa phrase de la page 91 : « I believe that better methods, which take into account more information, can be found ». Cette phrase est le premier énoncé du problème d'erreur d'estimation que la littérature ultérieure passera cinquante ans à traiter.
L'univers¶
Trois titres pour l'exposé principal, quatre pour l'extension, N pour l'énoncé général. Markowitz écrit explicitement qu'il ne dérive pas ses résultats analytiquement pour le cas à N titres. Il les présente géométriquement pour les cas à 3 et 4 titres (p. 79). Les ventes à découvert sont exclues, donc \(X_i \geq 0\). Les croyances de probabilité sont statiques, hypothèse qu'il déclare comme une limite.
La méthodologie¶
Géométrie plane, pas d'algorithme. Dans le cas à trois titres, la contrainte \(X_1 + X_2 + X_3 = 1\) permet d'éliminer \(X_3\) et de travailler dans le plan \((X_1, X_2)\). L'ensemble atteignable est le triangle \(abc\) de la figure 2.
Deux familles de courbes structurent le plan. Les courbes d'isomoyenne, l'ensemble des portefeuilles de même rendement espéré, forment un système de droites parallèles. Les courbes d'isovariance, l'ensemble des portefeuilles de même variance, forment un système d'ellipses concentriques. Le centre de ce système est le portefeuille de variance minimale.
L'ensemble efficient se lit alors comme un parcours. On part du point de variance minimale atteignable. On suit ensuite la droite critique, le lieu des points qui minimisent la variance à rendement espéré donné, jusqu'à ce qu'elle coupe une frontière. On longe enfin cette frontière jusqu'au point de rendement espéré maximal.
Les équations qui comptent¶
Le rendement du portefeuille est une somme pondérée de variables aléatoires, dont l'espérance et la variance s'écrivent
sous \(\sum_i X_i = 1\) et \(X_i \geq 0\), où \(\sigma_{ij} = \rho_{ij}\sigma_i\sigma_j\) est la covariance entre les titres \(i\) et \(j\).
Le rejet de la règle du rendement actualisé tient en une identité. Avec \(R = \sum_i X_i R_i\) et des \(R_i\) indépendants des \(X_i\), le rendement \(R\) est une moyenne pondérée à poids non négatifs. Son maximum est donc atteint en mettant \(X_i = 1\) sur le plus grand \(R_i\).
La droite d'isomoyenne du cas à trois titres, pour \(\mu_2 \neq \mu_3\), s'écrit \(X_2 = a + b X_1\) de pente
Changer \(E_0\) déplace l'ordonnée à l'origine sans toucher la pente, ce qui établit le parallélisme des droites d'isomoyenne.
Les résultats originaux¶
Aucun chiffre : les résultats sont des énoncés de forme. Quatre méritent d'être retenus, tous vérifiés dans le texte publié.
Un, la règle du rendement actualisé maximal n'implique jamais la supériorité d'un portefeuille diversifié, quelle que soit la façon dont les taux d'actualisation sont choisis (p. 77-78).
Deux, l'ensemble des portefeuilles efficients est une suite de segments de droite connectés, dans le cas à 3 titres, à 4 titres et à N titres (p. 87).
Trois, dans le plan \((E, V)\), la section de la parabole de variance au-dessus de l'ensemble efficient est une suite de segments de parabole connectés. Ce résultat vaut pour un nombre quelconque de titres (p. 87).
Quatre, remplacer la variance par l'écart type ou par le coefficient de dispersion \(\sigma/E\) laisse le choix de l'investisseur à l'intérieur du même ensemble efficient (p. 89).
Les critiques connues¶
Elles portent toutes sur l'application de la règle, jamais sur son algèbre.
L'erreur d'estimation transforme l'optimiseur en amplificateur d'erreur. Michaud (1989), « The Markowitz optimization enigma: is optimized optimal? », Financial Analysts Journal 45(1), p. 31-42, référence vérifiée dans Crossref le 2026-09-01, nomme le phénomène « error maximization ». L'optimiseur mise le plus fort sur les coefficients les plus faux, puisque ce sont eux qui paraissent les plus attrayants. Ledoit et Wolf (2003, section 1 de la version de travail de « Honey, I Shrunk the Sample Covariance Matrix ») reprennent le terme à leur compte, vérifié dans le texte.
Les poids sont hypersensibles aux moyennes. Best et Grauer (1991), Review of Financial Studies 4(2), p. 315-342, référence vérifiée dans Crossref le 2026-09-01. Sous la seule contrainte budgétaire, poids, moyenne et variance d'un portefeuille efficient sont extrêmement sensibles à un changement des espérances. Sous contraintes de non-négativité, une hausse faible de la moyenne d'un seul actif chasse la moitié des titres du portefeuille, sans presque rien changer à son rendement espéré ni à son écart type. Rapporté depuis la notice de l'éditeur, article non consulté au 2026-09-01.
Les erreurs sur les moyennes coûtent bien plus que celles sur les covariances. Chopra et Ziemba (1993), Journal of Portfolio Management 19(2), p. 6-11, référence vérifiée dans Crossref le 2026-09-01. Le rapport souvent cité est de 11 pour 2 pour 1 entre moyennes, variances et covariances à tolérance au risque 50 : chiffre non vérifié au 2026-09-01. Le fac-similé disponible est une image numérisée dont le texte n'est pas extractible, et les résumés secondaires consultés donnent des rapports différents, « environ 10 fois » et « plus de 20 fois ». À vérifier sur le tirage papier avant tout usage.
Hors échantillon, la règle perd contre 1/N. DeMiguel, Garlappi et Uppal (2009). Voir
la fiche demiguel_garlappi_uppal_2009.md, qui donne les chiffres et les objections qui
leur ont été faites.
Ce qui n'est pas une critique de Markowitz. La critique de Roll (1977) est souvent citée ici. Elle porte sur la testabilité du MEDAF, pas sur la règle espérance-variance, et ne dit rien du choix de portefeuille de 1952. Ne pas la ranger dans cette section.
Une objection anticipée dans l'article même. Le critère de variance pénalise symétriquement les écarts vers le haut et vers le bas. Markowitz le voit et l'écrit p. 90 et 91 : si l'utilité dépend aussi du troisième moment \(M_3\), avec \(\partial U/\partial M_3 \neq 0\), alors certains paris actuariellement équitables sont acceptés, ce que la règle E-V exclut. Il en tire lui-même la portée de sa règle, valable pour l'investissement plutôt que pour la spéculation.
Les problèmes de réplication connus¶
Il n'y a rien à répliquer numériquement. L'article ne publie aucun chiffre, donc aucune cible de réplication au sens du présent dépôt. Ce qui se vérifie, ce sont des propriétés : parallélisme des isomoyennes, forme elliptique des isovariances, et le fait que la frontière soit polygonale par morceaux sous contraintes d'inégalité.
Deux pièges d'attribution méritent d'être notés. Le premier : l'algorithme de la droite critique n'est PAS dans l'article de 1952. Markowitz y écrit « There are techniques by which we can compute the set of efficient portfolios [...] We will not present these techniques here » (p. 82), vérifié dans le texte. L'algorithme paraît en 1956 dans Naval Research Logistics Quarterly 3(1-2), p. 111-133, référence vérifiée dans Crossref le 2026-09-01. Le second : l'article de 1952 ne contient ni actif sans risque, ni ratio de Sharpe, ni portefeuille tangent, tous postérieurs.
Les biais possibles¶
Croyances statiques. Markowitz déclare l'hypothèse comme une limite p. 79 et annonce un traitement général ultérieur. Toute mise en oeuvre par fenêtre glissante suppose donc implicitement une stationnarité que l'article ne revendique pas.
Paramètres traités comme connus. Les \(\mu_i\) et \(\sigma_{ij}\) entrent dans la règle comme des données, pas comme des estimations. C'est la porte par laquelle entrent toutes les critiques d'erreur d'estimation ci-dessus.
Absence de ventes à découvert. L'exclusion \(X_i \geq 0\) est posée d'entrée et justifiée en note 4 : sans elle, sous la règle du rendement actualisé, une somme infinie irait sur le titre au plus fort rendement. Une réplication qui autorise le découvert change l'ensemble efficient et n'est plus l'article.
Aucun coût de transaction. L'article n'en parle pas. Toute conclusion sur la performance réalisée d'un portefeuille E-V doit les réintroduire.
Nos décisions d'implémentation¶
non commencé au 2026-09-01
Nos écarts avec l'article¶
non commencé au 2026-09-01
Nos résultats¶
non commencé au 2026-09-01
Notre contrôle de robustesse¶
non commencé au 2026-09-01
Références¶
- Markowitz, H. (1952), « Portfolio Selection », The Journal of Finance 7(1), p. 77-91. Fac-similé consulté : http://www.efalken.com/LowVolClassics/markowitz_JF1952.pdf
- Markowitz, H. (1956), « The optimization of a quadratic function subject to linear constraints », Naval Research Logistics Quarterly 3(1-2), p. 111-133. https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/nav.3800030110
- Michaud, R. (1989), « The Markowitz Optimization Enigma: Is Optimized Optimal? », Financial Analysts Journal 45(1), p. 31-42.
- Best, M. et Grauer, R. (1991), « On the Sensitivity of Mean-Variance-Efficient Portfolios to Changes in Asset Means », Review of Financial Studies 4(2), p. 315-342. https://academic.oup.com/rfs/article-abstract/4/2/315/1571031
- Chopra, V. et Ziemba, W. (1993), « The Effect of Errors in Means, Variances, and Covariances on Optimal Portfolio Choice », Journal of Portfolio Management 19(2), p. 6-11. https://jpm.pm-research.com/content/19/2/6
- DeMiguel, V., Garlappi, L. et Uppal, R. (2009), « Optimal Versus Naive Diversification »,
Review of Financial Studies 22(5), p. 1915-1953. Fiche interne :
demiguel_garlappi_uppal_2009.md - Ledoit, O. et Wolf, M. (2004), « Honey, I Shrunk the Sample Covariance Matrix »,
Journal of Portfolio Management 30(4), p. 110-119. Fiche interne :
ledoit_wolf_2004.md