Optimal versus naive diversification¶


Auteurs	Victor DeMiguel, Lorenzo Garlappi, Raman Uppal
Année	2009 (version publiée) ; document de travail de juin 2006 consulté
Revue ou source	The Review of Financial Studies, vol. 22, no 5, p. 1915-1953
Lien	https://users.nber.org/~confer/2006/si2006/ap/uppal.pdf (document de travail intitulé « 1/N », première version mars 2005, version de juin 2006, lu intégralement le 2026-09-01) ; version publiée : https://academic.oup.com/rfs/article-abstract/22/5/1915/1592901 (péage) ; SSRN : https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1376199
Statut de réplication	non commencé

Version publiée non consultée au 2026-09-01, péage Oxford Academic. Tous les chiffres de cette fiche viennent du document de travail de juin 2006, sauf mention contraire. Les deux résumés concordent sur les résultats saillants, quatorze modèles, sept jeux de données, 3 000 et 6 000 mois. Les tableaux détaillés peuvent différer. Ils doivent être recontrôlés sur la version publiée avant de servir de cible.

La question de recherche¶

Le gain de la diversification optimale survit-il à l'erreur d'estimation ? Les auteurs comparent hors échantillon quatorze règles d'allocation issues du modèle espérance-variance et de ses extensions à une règle sans paramètre : mettre \(1/N\) de la richesse dans chacun des \(N\) actifs. La domination théorique de l'optimisation est acquise depuis Markowitz (1952). La question posée ici est autre : combien de données faudrait-il pour que cette domination se voie dans les rendements réalisés ?

L'intuition économique¶

Le gain de l'optimisation est du second ordre, le coût de l'erreur d'estimation est du premier ordre, et l'échantillon dont dispose un gérant fait pencher la balance du mauvais côté. Ce n'est ni une prime de risque ni un biais comportemental, c'est une friction statistique.

Le mécanisme se lit dans la proposition 1. La perte espérée du portefeuille espérance-variance estimé contient un terme en \(N/M\). Ici \(N\) est le nombre d'actifs et \(M\) la fenêtre d'estimation, le nombre de mois servant à estimer les paramètres. Le nombre de paramètres à estimer croît en \(N\), voire en \(N^2\) pour la matrice de covariance, alors que l'information croît en \(M\). La règle \(1/N\), elle, n'estime rien : sa perte ne dépend que de son écart structurel à l'optimum, \(S_*^2 - S_{ew}^2\), et cet écart ne se creuse pas quand \(N\) augmente.

Deux choses feraient disparaître le résultat. La première est l'allongement de la fenêtre, mais l'article montre que la longueur requise se compte en milliers de mois. La seconde est l'écart entre le ratio de Sharpe du portefeuille tangent et celui de \(1/N\) : si l'optimum ex ante était très supérieur à \(1/N\), le seuil tomberait. L'article calibre justement ce rapport sur les données. Le Sharpe de \(1/N\) y vaut environ la moitié de celui du portefeuille espérance-variance en échantillon, et cette moitié suffit à rendre le seuil inatteignable.

Les données¶

Sept jeux de données empiriques, tous en rendements mensuels excédentaires au bon du Trésor américain à 90 jours du site de Ken French. Le tableau 2 du document de travail les liste, avec \(N\) le nombre d'actifs risqués et, après le signe plus, le nombre de portefeuilles de facteurs disponibles.

#	Jeu (abréviation)	N	Période	Source
1	Dix secteurs du S&P 500 et le marché américain (S&PSectors)	10+1	01/1981-12/2002	Roberto Wessels
2	Dix portefeuilles d'industries et le marché (Industry)	10+1	07/1963-11/2004	Ken French
3	Huit indices pays et l'indice mondial (International)	8+1	01/1970-07/2001	MSCI
4	SMB, HML et le marché (MKT/SMB/HML)	2+1	07/1963-11/2004	Ken French
5	Vingt portefeuilles taille et valeur comptable sur marché, plus le marché (FF-1-factor)	20+1	07/1963-11/2004	Ken French
6	Les vingt mêmes, plus MKT, SMB, HML (FF-3-factor)	20+3	07/1963-11/2004	Ken French
7	Les vingt mêmes, plus MKT, SMB, HML, MOM (FF-4-factor)	20+4	07/1963-11/2004	Ken French
8	Données simulées, N dans	2 000 ans	modèle de marché	simulation

Trois précisions du tableau 2, à respecter pour toute réplication. Un, les vingt portefeuilles taille et valeur sont les 25 de Fama et French moins les 5 contenant les plus grandes firmes. Cette exclusion est reprise de Wang (2005) : MKT, SMB et HML sont presque une combinaison linéaire des 25. Deux, les jeux 5, 6 et 7 ne diffèrent que par les portefeuilles de facteurs adjoints. Trois, les résultats du jeu FF-3-factor ne sont pas publiés, jugés quasi identiques à ceux de FF-1-factor, ce qui ramène à six colonnes le tableau des ratios de Sharpe.

L'univers¶

Le \(N\) effectif des tableaux compte les portefeuilles de facteurs. Le tableau 3 porte les en-têtes suivants : S&PSectors \(N = 11\), Industry \(N = 11\), International \(N = 9\), Mkt/SMB/HML \(N = 3\), FF-1-factor \(N = 21\), FF-4-factor \(N = 24\). Le portefeuille évalué ne contient que des actifs risqués ; le cas incluant l'actif sans risque est traité en robustesse et donne des résultats qualitativement semblables.

La méthodologie¶

Fenêtre glissante, réestimation mensuelle, aucune donnée future. La fenêtre d'estimation vaut \(M = 120\) mois pour les résultats publiés, et \(M = 60\) en contrôle, non reporté faute de place et déclaré sans différence. À chaque mois \(t \geq M\), les paramètres sont estimés sur les \(M\) mois précédents, les poids en découlent, et le rendement du mois \(t+1\) est enregistré. Le résultat est une série de \(T - M\) rendements hors échantillon par stratégie et par jeu de données.

Trois mesures de performance : ratio de Sharpe hors échantillon, rendement équivalent certain, et rotation, définie comme la somme moyenne des valeurs absolues des transactions sur les \(N\) actifs. La valeur p de l'écart entre deux ratios de Sharpe suit Jobson et Korkie (1981) avec la correction de Memmel (2003).

Les quatorze modèles du tableau 1, dans l'ordre de l'article :

espérance-variance sur estimateurs d'échantillon (mv) ;
a priori bayésien diffus, non reporté, jugé trop proche de mv à ces longueurs de fenêtre ;
Bayes-Stein (bs) ;
Bayesian Data-and-Model (dm) ;
variance minimale (min) ;
portefeuille de marché pondéré par la capitalisation (vw) ;
modèle à facteur manquant de MacKinlay et Pastor 2000 (mp) ;
à 10. mv, bs et min sous contrainte de vente à découvert (mv-c, bs-c, min-c) ;
variance minimale sous contraintes généralisées (g-min-c) ;
trois fonds de Kan et Zhou (mv-min) ;
mélange de variance minimale et de \(1/N\) (ew-min) ;
multi-a priori de Garlappi, Uppal et Wang, non reporté, montré comme moyenne pondérée de mv et min.

Ce que les auteurs déclarent ne pas évaluer, et pourquoi. Ni Ledoit (1996), ni Ledoit et Wolf (2003), ni Chan, Karceski et Lakonishok (1999), ni Best et Grauer (1992) ne figurent parmi les quatorze modèles. La raison est écrite chez Jagannathan et Ma (2003, p. 1654). Sous contrainte de vente à découvert, « the sample covariance matrix performs almost as well as those constructed using factor models, shrinkage estimators or daily returns ». Vérifié dans le texte du document de travail. Aucun estimateur à rétrécissement n'est donc testé dans cet article, contrairement à ce que laissent croire beaucoup de résumés secondaires. Voir ledoit_wolf_2004.md.

Les équations qui comptent¶

Le portefeuille estimé est \(\hat{x} = \frac{1}{\gamma}\hat{\Sigma}^{-1}\hat{\mu}\), sous hypothèse de normalité jointe, avec \(\hat{\mu} \sim N(\mu, \Sigma/M)\) et \(M\hat{\Sigma} \sim W_N(M-1, \Sigma)\), une loi de Wishart à \(M-1\) degrés de liberté.

Soit \(S_*^2 = \mu^{\top}\Sigma^{-1}\mu\) le carré du ratio de Sharpe du portefeuille tangent et \(S_{ew}^2 = (1_N^{\top}\mu)^2 / (1_N^{\top}\Sigma 1_N)\) celui de \(1/N\). La proposition 1 donne les trois conditions sous lesquelles \(1/N\) a la perte espérée la plus faible.

Moyennes inconnues, covariances connues :

\[ S_*^2 - S_{ew}^2 - \frac{N}{M} < 0. \]

Moyennes connues, covariances inconnues :

\[ k S_*^2 - S_{ew}^2 < 0, \qquad k = \left(\frac{M}{M-N-2}\right)\left(2 - \frac{M(M-2)}{(M-N-1)(M-N-4)}\right) < 1. \]

Les deux inconnues :

\[ k S_*^2 - S_{ew}^2 - h < 0, \qquad h = \frac{NM(M-2)}{(M-N-1)(M-N-2)(M-N-4)} > 0. \]

La fenêtre critique est définie comme \(M^*_{mv} \equiv \inf\{M : L_{mv}(x^*, \hat{x}) < L_{ew}(x^*, w_{ew})\}\), le plus petit nombre de périodes d'estimation à partir duquel le portefeuille espérance-variance bat \(1/N\) en moyenne.

Les résultats originaux¶

Aucun des quatorze modèles ne bat \(1/N\) de façon constante, ni en ratio de Sharpe, ni en équivalent certain, ni en rotation. C'est la phrase du résumé, identique dans les deux versions.

Les ratios de Sharpe mensuels du tableau 3, document de travail de juin 2006 :

Stratégie	S&PSectors	Industry	Inter'l	Mkt/SMB/HML	FF 1-facteur	FF 4-facteurs
1/N	0,1876	0,1353	0,1277	0,2240	0,1623	0,1753
mv en échantillon	0,3848	0,2124	0,2090	0,2851	0,5098	0,5364
mv hors échantillon	0,0794	-0,0363	-0,0719	0,2186	-0,0684	-0,0031
bs	0,0811	-0,0319	-0,0528	0,2536	-0,0636	-0,0042
min	0,0820	0,1554	0,1490	0,2493	0,2778	-0,0183
vw	0,1444	0,1138	0,1239	0,1138	0,1138	0,1138
mp	0,1863	0,1249	0,1209	0,0558	0,1525	0,1516

L'écart entre les deux premières lignes de mv mesure exactement le coût de l'estimation. Sur S&PSectors, 0,3848 en échantillon tombe à 0,0794 hors échantillon, contre 0,1876 pour \(1/N\). Sur International, 0,2090 devient -0,0719, contre 0,1277 pour \(1/N\).

La fenêtre critique, résultat le plus cité, se lit dans la figure 1, six panneaux calibrés sur des couples de ratios de Sharpe ex ante. Voici les six lectures données dans le texte.

Panneau	\(S_*\)	\(S_{ew}\)	N = 25	N = 50	N = 100
A	0,40	0,20	> 200 mois	~600 mois	> 1 200 mois
B	0,40	0,10	270 mois	530 mois	1 060 mois
C	0,20	0,10	~1 000 mois	~2 000 mois	non donné
D	0,20	0,05	non donné	> 1 500 mois	non donné
E	0,15	0,12	> 3 000 mois	> 6 000 mois	non donné
F	0,15	0,08	> 1 600 mois	> 3 200 mois	non donné

Ce sont les panneaux E et F qui sont calibrés sur le marché boursier américain, les valeurs \(S_{ew} = 0{,}12\) et \(S_{ew} = 0{,}08\) venant des tableaux 7 et 8 sur données simulées. Ce sont donc les 3 000 et 6 000 mois du panneau E que reprend le résumé, soit 250 et 500 ans, alors que la pratique estime sur 120 mois. Les panneaux A à D sont calibrés sur les Sharpe en échantillon du tableau 3, 0,40 pour S&PSectors, 0,20 pour Industry et International, 0,15 pour le marché pondéré.

Trois lectures se perdent souvent et méritent d'être écrites. Un, le chiffre de 3 000 mois n'est pas le résultat empirique de l'article, c'est une valeur analytique tirée de la proposition 1 sous normalité jointe. Deux, il vaut pour la règle espérance-variance sur estimateurs d'échantillon, pas pour ses extensions ; l'article dit que sur données simulées les extensions ne réduisent que modérément cette fenêtre. Trois, le seuil n'est pas monotone entre panneaux. Abaisser \(S_{ew}\) de 0,20 à 0,10 fait passer le seuil de plus de 200 à 270 mois à 25 actifs, mais de 600 à 530 mois à 50 actifs.

Coquille du document de travail de juin 2006, section 5. Le texte écrit deux fois « In Panel E » de suite. La seconde occurrence porte sur le cas \(S_{ew} = 0{,}08\), qui est le panneau F d'après la calibration annoncée deux paragraphes plus haut. À revérifier sur la version publiée avant de citer les 1 600 et 3 200 mois.

Les critiques connues¶

Elles sont nombreuses et portent presque toutes sur le protocole, pas sur la proposition 1.

Le protocole choisit des portefeuilles à forte rotation et à forte erreur. Kirby et Ostdiek (2012), « It's All in the Timing: Simple Active Portfolio Strategies that Outperform Naive Diversification », Journal of Financial and Quantitative Analysis 47(2), p. 437-467. Ils soutiennent que le résultat de DGU tient largement au plan expérimental, centré sur des portefeuilles sujets à un risque d'estimation élevé et à une rotation extrême. Ils proposent deux règles à faible rotation, le calage sur la volatilité et le calage rendement sur risque, qui battent \(1/N\) même avec des coûts de transaction élevés. Abrégé de la revue lu le 2026-09-01, texte intégral non consulté, aucun chiffre relevé.

Le coupable serait le modèle de rendement, pas l'optimiseur. Kritzman, Page et Turkington (2010), « In Defense of Optimization: The Fallacy of 1/N », Financial Analysts Journal 66(2), p. 31-39. Ils rapportent que la supériorité apparente de \(1/N\) vient de l'usage d'échantillons glissants courts pour estimer les espérances, qui produisent des attentes invraisemblables. Avec des échantillons longs ou des hypothèses plus plausibles, les portefeuilles optimisés dominent hors échantillon. Article non consulté au 2026-09-01 ; l'abrégé de l'éditeur, lu ce jour-là, porte la thèse mais aucun chiffre. Les treize jeux de données, les 1 028 séries et les plus de 50 000 portefeuilles optimisés sont rapportés par deux sources secondaires concordantes, non revérifiés sur l'article. Les longueurs de fenêtre de 5, 10 et 20 ans, citées par une note de lecture (https://reasonabledeviations.com/notes/papers/defense_optimisation/), n'ont été retrouvées dans aucune source de l'éditeur : non trouvé au 2026-09-01.

Il ne faut pas choisir, il faut combiner. Tu et Zhou (2011), « Markowitz meets Talmud: A combination of sophisticated and naive diversification strategies », Journal of Financial Economics 99(1), p. 204-215. Ils construisent la combinaison optimale de \(1/N\) avec quatre règles savantes : Markowitz, Jorion (1986), MacKinlay et Pastor (2000) et Kan et Zhou (2007). Ils rapportent que les règles combinées battent \(1/N\) dans la plupart des cas. Rapporté depuis la notice d'éditeur, article non consulté.

La critique symétrique, contre ceux qui disent battre \(1/N\). Zakamulin (2017), « Superiority of optimized portfolios to naive diversification: fact or fiction? », Finance Research Letters 22, p. 122-128. Il rapporte que les portefeuilles optimisés qui battent \(1/N\) sont inclinés vers les actifs les moins volatils, et qu'après contrôle de l'effet de faible volatilité il ne reste aucune preuve de surperformance. Cette critique va dans le sens de DGU, pas contre. Abrégé de la revue lu le 2026-09-01, texte intégral non consulté, aucun chiffre relevé.

La réponse des auteurs eux-mêmes. DeMiguel, Garlappi, Nogales et Uppal (2009), « A Generalized Approach to Portfolio Optimization: Improving Performance by Constraining Portfolio Norms », Management Science 55(5), p. 798-812. La variance minimale sous contrainte de norme sur le vecteur de poids donne des portefeuilles qui tiennent hors échantillon. Article non consulté ; à lire avant d'écrire que DGU concluent à l'inutilité de l'optimisation, ce qu'ils ne font pas.

Les problèmes de réplication connus¶

Aucun problème de réplication publié n'a été trouvé au 2026-09-01. Ce qui suit est une liste d'obstacles matériels relevés dans l'article lui-même, pas des échecs rapportés.

Le jeu S&PSectors n'est pas public. Les dix portefeuilles sectoriels du S&P 500 viennent de Roberto Wessels, remercié en note de première page ; il n'existe pas de lien de téléchargement. Le jeu International vient de MSCI, sous licence. Les jeux 2, 4, 5, 6 et 7 viennent du site de Ken French et sont librement accessibles. Les données ont été révisées depuis 2004, et les rendements ne seront pas identiques au millésime des auteurs.

Les périodes s'arrêtent en 11/2004 et 12/2002. Toute réplication étendue à aujourd'hui n'est plus une réplication et doit être déclarée comme extension.

Trois choix de mise en oeuvre pèsent sur les chiffres et doivent être copiés à l'identique :

l'exclusion des 5 portefeuilles de plus grandes firmes parmi les 25 de Fama et French ;
la fenêtre \(M = 120\) ;
la correction de Memmel (2003) sur le test de Jobson et Korkie. Faute de cette correction, les valeurs p seront fausses sans qu'aucun test mécanique ne le signale.

Les biais possibles¶

Le protocole fixe une rotation mensuelle intégrale pour toutes les stratégies. Le \(1/N\) est rééquilibré chaque mois lui aussi, mais sa rotation ne vient que des variations de prix, alors que celle des règles optimisées vient des variations des poids estimés. Le tableau 5 mesure cet écart, et c'est précisément le point d'attaque de Kirby et Ostdiek.

La calibration des panneaux E et F est modélisée, pas mesurée. Les 3 000 et 6 000 mois dépendent du couple \((S_*, S_{ew})\) retenu et de l'hypothèse de normalité jointe avec paramètres constants. Ce sont des chiffres modélisés, à déclarer comme tels partout où ils sont repris.

Le nombre d'actifs reste petit. Le plus grand jeu compte 24 colonnes. Les résultats ne disent rien direct du cas où \(N\) dépasse la fenêtre, cas que traitent Ledoit et Wolf. Voir ledoit_wolf_2004.md.

Les portefeuilles évalués sont des portefeuilles de portefeuilles. Les actifs sont des portefeuilles déjà diversifiés, sectoriels ou factoriels, dont les rendements sont fortement corrélés. Le gain marginal de l'optimisation y est structurellement plus faible que sur des titres individuels, ce qui joue en faveur de \(1/N\).

Aucun coût de transaction n'est déduit des ratios de Sharpe. La rotation est mesurée séparément, en troisième critère, pas intégrée aux rendements. Une réplication qui soustrait des coûts change les trois tableaux et n'est plus comparable.

Nos décisions d'implémentation¶

non commencé au 2026-09-01

Nos écarts avec l'article¶

non commencé au 2026-09-01

Nos résultats¶

non commencé au 2026-09-01

Notre contrôle de robustesse¶

non commencé au 2026-09-01

Références¶

DeMiguel, V., Garlappi, L. et Uppal, R. (2009), « Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient is the 1/N Portfolio Strategy? », Review of Financial Studies 22(5), p. 1915-1953. Document de travail « 1/N », juin 2006, consulté : https://users.nber.org/~confer/2006/si2006/ap/uppal.pdf
DeMiguel, V., Garlappi, L., Nogales, F. et Uppal, R. (2009), « A Generalized Approach to Portfolio Optimization: Improving Performance by Constraining Portfolio Norms », Management Science 55(5), p. 798-812. https://pubsonline.informs.org/doi/10.1287/mnsc.1080.0986
Kirby, C. et Ostdiek, B. (2012), « It's All in the Timing », Journal of Financial and Quantitative Analysis 47(2), p. 437-467. https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1530022
Kritzman, M., Page, S. et Turkington, D. (2010), « In Defense of Optimization: The Fallacy of 1/N », Financial Analysts Journal 66(2), p. 31-39. https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1591171
Tu, J. et Zhou, G. (2011), « Markowitz meets Talmud », Journal of Financial Economics 99(1), p. 204-215. https://econpapers.repec.org/RePEc:eee:jfinec:v:99:y:2011:i:1:p:204-215
Zakamulin, V. (2017), « Superiority of optimized portfolios to naive diversification: Fact or fiction? », Finance Research Letters 22, p. 122-128. https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2786291
Memmel, C. (2003), « Performance hypothesis testing with the Sharpe ratio », Finance Letters 1, p. 21-23. Cité par l'article ; non consulté.
Jobson, J. D. et Korkie, B. (1981), « Performance hypothesis testing with the Sharpe and Treynor measures », Journal of Finance 36, p. 889-908. Cité par l'article ; non consulté.
Markowitz, H. (1952). Fiche interne : markowitz_1952.md
Ledoit, O. et Wolf, M. (2004). Fiche interne : ledoit_wolf_2004.md