Optimal Execution of Portfolio Transactions

Auteurs	Robert Almgren et Neil Chriss ; complément de Jim Gatheral (2010)
Année	2001 pour l'article publié, document de travail daté de décembre 2000 ; 2010 pour Gatheral
Revue ou source	Journal of Risk, vol. 3, n° 2, p. 5-39 ; Gatheral, Quantitative Finance, vol. 10, n° 7, p. 749-759
Lien	document de travail, décembre 2000 ; Gatheral sur SSRN
Statut de réplication	non commencé

Deux précisions d'accès, au 2026-09-01. La version d'Almgren et Chriss lue est le document de travail de décembre 2000, quarante-deux pages, non la version du Journal of Risk qui est derrière un péage. La pagination publiée fait d'ailleurs l'objet de sources contradictoires : les notices bibliographiques courantes donnent p. 5-39, alors que Gatheral cite lui-même « Journal of Risk 3 5-40 (2001) » dans sa propre bibliographie. La contradiction est signalée et non tranchée.

L'article de Gatheral (2010) n'a pas été consulté ; la fiche repose sur ses propres exposés du même travail. SSRN et Taylor & Francis renvoient tous deux une erreur 403 depuis cet environnement. Deux présentations de Gatheral ont été lues intégralement à la place. Elles portent les mêmes énoncés, les mêmes démonstrations et les mêmes exemples numériques. La première est « No-Dynamic-Arbitrage and Market Impact », École polytechnique, 5 janvier 2009, quarante-sept planches. La seconde est « Optimal order execution », Scuola Normale Superiore de Pise, 13 juillet 2012, quatre-vingts planches.

La question de recherche

À quelle vitesse liquider une position, quand se dépêcher coûte cher et attendre est risqué ? Un ordre trop gros pour le carnet fait bouger le prix contre son émetteur, donc l'étaler réduit le coût. Mais l'étaler expose la position restante à la volatilité du titre, donc au risque de recevoir bien moins que le prix initial.

La tension est double et les deux termes sont vrais. Bertsimas et Lo (1998) définissent la meilleure exécution comme celle qui minimise le coût espéré, ce qui donne une trajectoire linéaire quelle que soit la liquidité du titre. Or un courtier confronté à un petit ordre l'exécute immédiatement, ce qu'aucun modèle sans aversion au risque ne peut expliquer (p. 23 du document de travail).

L'intuition économique

Le coût d'exécution existe parce que la liquidité est un service rare, et quelqu'un doit être payé pour le rendre. Un teneur de marché qui accepte votre bloc porte l'inventaire jusqu'à ce qu'il trouve la contrepartie, et exige d'être rémunéré pour le risque de détention. Ce n'est ni un biais de comportement ni une inefficience : c'est un prix d'équilibre pour un service.

Les auteurs séparent ce prix en deux effets distincts, et la distinction commande tout le reste. L'impact temporaire vient de ce qu'on épuise les offres successives du carnet pendant qu'on négocie, et la liquidité revient ensuite. L'impact permanent est le déplacement du prix d'équilibre lui-même, parce que le marché infère de votre volume une information et révise sa valorisation (p. 8). Le premier ne touche que vos propres exécutions, le second frappe tout ce qui reste à vendre.

Ce mécanisme prédit sa propre disparition, et c'est ce qui le rend testable. L'impact temporaire s'efface si le carnet se reconstitue instantanément, donc il décroît quand les teneurs de marché sont nombreux et rapides. L'impact permanent s'efface si votre ordre ne porte aucune information, donc il devrait être plus faible pour un rééquilibrage annoncé que pour une vente discrétionnaire.

L'argument d'inventaire donne aussi la FORME de l'impact, et c'est ce qui opposera Gatheral à Almgren et Chriss. Le teneur de marché exige un rendement proportionnel au risque de son inventaire, ce risque vaut \(\sigma\sqrt{T}\) avec \(T\) la durée de détention, et cette durée croît avec la taille de la position. Le rendement exigé est donc proportionnel à \(\sqrt{n}\), pas à \(n\) (Gatheral, planches de janvier 2009, « Why \(\sqrt{n}\) ? »). Almgren et Chriss supposent un impact linéaire ; l'argument d'inventaire dit racine carrée.

Les données

Aucune. C'est un article de modélisation en forme fermée, et son seul contenu empirique est un jeu de paramètres illustratif, entièrement énoncé dans sa table 1 (p. 25 du document de travail).

Paramètre	Valeur	Unité
Prix initial \(S_0\)	50	$/action
Position initiale \(X\)	1 000 000	actions
Durée de liquidation \(T\)	5	jours
Nombre de périodes \(N\)	5
Volatilité annuelle 30 %, soit \(\sigma\)	0,95	($/action)/jour\(^{1/2}\)
Croissance annuelle 10 %, soit \(\alpha\)	0,02	($/action)/jour
Écart acheteur-vendeur de 1/8, soit \(\epsilon\)	0,0625	$/action
Impact permanent \(\gamma\)	\(2,5 \times 10^{-7}\)	$/action\(^2\)
Impact temporaire \(\eta\)	\(2,5 \times 10^{-6}\)	($/action)/(action/jour)
Aversion au risque \(\lambda_u\)	\(10^{-6}\)	1/$
Quantile de VaR à 95 %, \(\lambda_v\)	1,645

Une ligne de cette table se lit de travers si on la prend au pied de la lettre. Le libellé « Bid-ask spread = 1/8 » annonce un écart de 1/8, mais \(\epsilon\) vaut 1/16, soit la MOITIÉ de l'écart, parce que les auteurs prennent pour coût fixe la demi-fourchette (p. 24). Une réplication qui poserait \(\epsilon = 0{,}125\) doublerait le terme fixe du coût.

Les deux paramètres d'impact ne sont pas estimés, ils sont posés par règle empirique et leur statut est celui d'un précepte. Pour \(\eta\), les auteurs supposent qu'échanger un pour cent du volume quotidien coûte un écart acheteur-vendeur, d'où \(\eta = (1/8)/(0{,}01 \times 5\times 10^6)\). Pour \(\gamma\), ils supposent que vendre dix pour cent du volume quotidien déplace le prix d'un écart, d'où \(\gamma = (1/8)/(0{,}1 \times 5 \times 10^6)\) (p. 24).

L'univers

Un titre unique dans le corps de l'article, avec un volume médian quotidien de cinq millions d'actions. L'annexe A étend le résultat à un portefeuille de plusieurs titres et produit là aussi des trajectoires en forme fermée, la corrélation entre titres pesant alors fortement sur le comportement optimal (p. 6).

Chez Gatheral, l'univers de validation empirique est différent, et il est réel. Ce sont les métaordres propriétaires de Capital Fund Management sur les marchés à terme, de juin 2007 à décembre 2010, près de 500 000 transactions (rapporté, planches de juillet 2012). Ils ont été publiés par Tóth et autres (2011), Physical Review X. Ces données ne sont pas accessibles.

La méthodologie

Le problème est discret et statique. On divise \([0, T]\) en \(N\) intervalles de longueur \(\tau = T/N\), et l'on note \(x_k\) le nombre d'actions encore détenues à la date \(t_k = k\tau\), avec \(x_0 = X\) et \(x_N = 0\). La quantité vendue dans l'intervalle \(k\) s'écrit \(n_k = x_{k-1} - x_k\).

La stratégie recherchée est statique : la règle qui fixe \(n_k\) ne dépend que de l'information disponible en \(t_0\). Les auteurs démontrent ensuite que sous leur dynamique de prix, la stratégie optimale l'est aussi parmi les stratégies dynamiques, celles qui réagissent au prix observé (note 10, p. 13).

La construction se fait en trois temps. On écrit le coût espéré \(E(x)\) et sa variance \(V(x)\) comme fonctions de la trajectoire. On construit la frontière efficiente en résolvant \(\min_x E(x)\) sous contrainte \(V(x) \le V_*\), ce que le multiplicateur de Lagrange \(\lambda\) transforme en programme sans contrainte. On annule enfin les dérivées partielles, ce qui donne une équation aux différences linéaire dont la solution s'écrit avec des sinus hyperboliques.

Les équations qui comptent

Le prix de marché suit une marche aléatoire arithmétique dont la dérive est l'impact permanent \(g\) de notre propre volume :

\[ S_k = S_{k-1} + \sigma \tau^{1/2} \xi_k - \tau\, g\!\left(\frac{n_k}{\tau}\right) \]

Le prix effectivement reçu s'en écarte de l'impact temporaire \(h\), qui ne se propage PAS au prix de marché suivant :

\[ \tilde{S}_k = S_{k-1} - h\!\left(\frac{n_k}{\tau}\right) \]

Le coût de la transaction est le manque à gagner par rapport à la valeur comptable initiale, ce que Perold (1988) appelle implementation shortfall. Son espérance et sa variance valent, équations (4) et (5) p. 10 :

\[ E(x) = \sum_{k=1}^{N} \tau\, x_k\, g\!\left(\frac{n_k}{\tau}\right) + \sum_{k=1}^{N} n_k\, h\!\left(\frac{n_k}{\tau}\right), \qquad V(x) = \sigma^2 \sum_{k=1}^{N} \tau\, x_k^2 \]

Le premier terme de \(E\) frappe la position ENCORE DÉTENUE \(x_k\), le second seulement la quantité vendue \(n_k\). C'est toute la différence entre permanent et temporaire, et elle se lit dans les indices.

Avec des fonctions d'impact linéaires, équations (6) et (7) p. 10-11 :

\[ g(v) = \gamma v, \qquad h\!\left(\frac{n_k}{\tau}\right) = \epsilon\, \mathrm{sgn}(n_k) + \frac{\eta}{\tau}\, n_k \]

le coût espéré se simplifie en une forme quadratique, équation (8) p. 11 :

\[ E(x) = \tfrac{1}{2}\gamma X^2 + \epsilon \sum_{k=1}^{N} |n_k| + \frac{\tilde{\eta}}{\tau} \sum_{k=1}^{N} n_k^2, \qquad \tilde{\eta} = \eta - \tfrac{1}{2}\gamma\tau \]

La fonction objectif

\[ \boxed{\;\min_{x}\; U(x) = E(x) + \lambda\, V(x) = \tfrac{1}{2}\gamma X^2 + \epsilon \sum_{k=1}^{N} |n_k| + \frac{\tilde{\eta}}{\tau} \sum_{k=1}^{N} n_k^2 + \lambda \sigma^2 \sum_{k=1}^{N} \tau\, x_k^2 \;} \]

Le paramètre \(\lambda\) est le taux auquel on pénalise la variance du coût contre le coût lui-même, et il vaut la courbure d'une fonction d'utilité lisse (p. 13). En faisant varier \(\lambda\) de zéro à l'infini, la solution balaie toute la frontière efficiente.

Deux des quatre termes ne dépendent pas de la trajectoire. Pour un programme de vente pure, tous les \(n_k\) ont le même signe, donc \(\sum |n_k| = |X|\), et \(\tfrac{1}{2}\gamma X^2\) est fixé par la seule position de départ. Il reste \(\tilde{\eta}\) et \(\lambda\sigma^2\). Or \(\tilde{\eta} = \eta - \gamma\tau/2\) tend vers \(\eta\) quand \(\tau \to 0\). Dans la limite continue, l'impact permanent disparaît entièrement du problème d'optimisation : il coûte, mais il ne change pas d'un iota le chemin optimal. Les auteurs le disent d'un mot pour le terme \(\tfrac{1}{2}\gamma X^2\), « this parameter gives a fixed cost independent of path » (p. 24). Ce qu'ils n'écrivent pas, et qui se déduit de leurs propres équations, c'est que la dépendance résiduelle en \(\gamma\) passe tout entière par \(\tilde{\eta}\) et s'évanouit avec le pas de temps.

La solution

L'annulation des dérivées donne l'équation aux différences (16), p. 14 :

\[ \frac{1}{\tau^2}\left(x_{j-1} - 2 x_j + x_{j+1}\right) = \tilde{\kappa}^2\, x_j, \qquad \tilde{\kappa}^2 = \frac{\lambda\sigma^2}{\tilde{\eta}} = \frac{\lambda \sigma^2}{\eta\left(1 - \frac{\gamma\tau}{2\eta}\right)} \]

où \(\kappa\) résout \(\dfrac{2}{\tau^2}\left(\cosh(\kappa\tau) - 1\right) = \tilde{\kappa}^2\). La trajectoire optimale, équation (17), et la liste des lots, équation (18) :

\[ x_j = \frac{\sinh\!\big(\kappa (T - t_j)\big)}{\sinh(\kappa T)}\, X, \qquad n_j = \frac{2\sinh\!\left(\tfrac{1}{2}\kappa\tau\right)}{\sinh(\kappa T)}\, \cosh\!\Big(\kappa\big(T - t_{j-\frac{1}{2}}\big)\Big)\, X \]

Pour un pas court, \(\kappa \simeq \sqrt{\lambda\sigma^2/\eta}\) (équation 19, p. 15). L'inverse \(\theta = 1/\kappa\) est la demi-vie de la transaction, le temps au bout duquel la position est divisée par \(e\). Elle ne dépend PAS de la durée imposée \(T\) : un vendeur averse au risque liquide sur l'échelle de temps \(\theta\) même sans contrainte de temps (p. 15).

Ce ratio \(\kappa T = T/\theta\) dit ce qui contraint la transaction. Si \(T \gg \theta\), l'essentiel se vend bien avant l'échéance et la trajectoire ressemble à la vente immédiate. Si \(T \ll \theta\), les coûts temporaires dominent et la trajectoire tend vers la droite à taux constant.

Les résultats originaux

La frontière efficiente est lisse et convexe, et elle est différentiable en son minimum. Ce minimum est la stratégie de Bertsimas et Lo, la vente à taux constant, celle qui minimise le coût espéré sans regarder la variance. La différentiabilité au minimum a une conséquence pratique. En s'écartant un peu de la stratégie naïve, on obtient une réduction de variance du PREMIER ordre contre une hausse de coût du SECOND ordre (p. 6). Les auteurs en tirent qu'il n'est jamais rationnel d'échanger la stratégie strictement neutre au risque (p. 22-23).

Deux paniers de tailles différentes du même titre se liquident exactement de la même façon, sur la même échelle de temps, à \(\lambda\) fixé. C'est contraire à l'intuition et les auteurs le disent : c'est une conséquence de l'impact linéaire, qui fait croître variance et coût d'impact tous deux quadratiquement avec la taille (p. 16). Ils recommandent de changer \(\eta\) selon la taille du problème, en reconnaissant que le modèle n'est qu'approché.

Sur le cas type, \(\kappa \approx 0{,}6\) par jour et \(\kappa T \approx 3\), un régime intermédiaire entre les deux extrêmes (p. 24). La position non négociée pendant cinq jours aurait un écart-type de \(\sigma\sqrt{T} = 2{,}12\) \(/action, soit 2,12 M\) sur le million d'actions.

Avec une dérive \(\alpha\), le problème acquiert un point fixe \(\bar{x} = \alpha/(2\lambda\sigma^2)\), la position optimale d'un problème de portefeuille sans horizon (équation 25, p. 26). Les trajectoires convergent vers \(\bar{x}\) au lieu de zéro tant que la contrainte de liquidation ne mord pas.

Ce que la racine carrée de Gatheral change

Gatheral remplace la séparation permanent/temporaire par un unique noyau de décroissance, la fonction qui dit quelle part de l'impact d'un lot survit après un délai donné :

\[ S_t = S_0 + \int_0^t f(\dot{x}_s)\, G(t-s)\, ds + \int_0^t \sigma\, dZ_s, \qquad C[\Pi] = \int_0^T \dot{x}_t\, dt \int_0^t f(\dot{x}_s)\, G(t-s)\, ds \]

Almgren et Chriss deviennent un cas particulier : leur composante temporaire correspond à \(G(t-s) = \delta(t-s)\), une décroissance instantanée, avec \(f(v) = \eta\sigma v^{\beta}\) et \(\beta = 0{,}6\) selon l'estimation d'Almgren (2005). Leur composante permanente correspond à \(G \equiv 1\).

Le principe imposé est celui de non-manipulation : un aller-retour, un programme dont le volume net est nul, ne peut pas avoir un coût espéré négatif. Quatre conséquences en découlent, et elles concernent directement le modèle d'Almgren et Chriss.

Un. Si l'impact est permanent, la non-manipulation force \(f(v) = -f(-v)\), puis, en développant en puissances du taux de résilience, force \(f\) à être LINÉAIRE. Le \(\gamma v\) d'Almgren et Chriss n'est donc pas un choix de commodité mathématique : c'est le seul impact permanent admissible. Huberman et Stanzl (2004) obtiennent la même conclusion par la voie du quasi-arbitrage.

Deux. Si l'impact décroît exponentiellement, la manipulation est possible dès que \(f\) n'est pas linéaire. Gatheral donne un contre-exemple explicite avec \(f(v) = \sqrt{v}\), \(v_1 = 0{,}2\), \(v_2 = 1\), \(\rho = 1\) et \(T = 1\) : le coût de l'aller-retour vaut \(-0{,}001705\), donc un profit. Ce nombre a été recalculé ici et retrouvé à \(-0{,}0017050\) (mesuré, 2026-09-01, à partir des formules (16) des planches de janvier 2009). La stratégie consiste à accumuler lentement, en fractionnant au maximum, puis à liquider vite.

Trois. Avec une décroissance en loi de puissance \(G(\tau) = \tau^{-\gamma}\) et un impact en loi de puissance \(f(v) \propto v^{\delta}\), la non-manipulation impose

\[ \gamma + \delta \ge 1 \]

Empiriquement, \(\delta \approx 0{,}6\) selon Almgren et \(\gamma \approx 0{,}4\) selon Bouchaud, donc \(\gamma + \delta \approx 1\) : le marché se tient EXACTEMENT sur la frontière de non-arbitrage (planches de janvier 2009).

Quatre, et c'est ce qui touche la fonction objectif. Le coût par action d'une exécution à taux constant sur une durée \(T\) vaut

\[ \frac{C}{X} \propto \left(\frac{n}{V}\right)^{\delta} T^{\,1-\gamma-\delta} \]

Si \(\gamma + \delta = 1\), l'exposant de \(T\) s'annule et le coût espéré ne dépend plus de la durée. Avec \(\gamma = \delta = 1/2\) on retrouve la formule en racine carrée que les logiciels de courtage emploient depuis les années 1990, \(\Delta P = \text{coût d'écart} + \alpha\sigma\sqrt{Q/V}\).

La portée pour Almgren et Chriss est directe. Leur arbitrage repose sur le fait que ralentir DIMINUE le coût et AUGMENTE le risque. Si le coût espéré d'une exécution à taux constant ne dépend plus de la durée, la moitié « coût » de l'arbitrage disparaît, et avec elle la raison d'accepter du risque de marché. Pire, sous le processus en racine carrée pur, aucune stratégie optimale N'EXISTE : la concavité de \(f\) permet de faire tendre le coût vers zéro en multipliant les tranches. Il faut rendre \(f\) convexe pour les gros taux pour qu'un optimum revienne. Cet optimum consiste alors à négocier par bouffées séparées de silences. La vente à taux constant n'est donc jamais optimale (planches de juillet 2012).

L'exemple chiffré de Gatheral donne l'ordre de grandeur du gain. Il s'agit de vendre 540 000 actions d'IBM en une séance, sur un titre de volatilité quotidienne 2 % et de volume quotidien 6 millions. Les ordres enfants durent quinze minutes, de 09:45 à 15:45, et la part de volume est plafonnée à 25 %. Le coût d'une exécution à taux constant vaut \(0{,}02 \times \sqrt{540/6000} = 60{,}0\) points de base, recalculé et retrouvé ici (mesuré, 2026-09-01). Une stratégie à deux tranches coûte 49,6 points de base, soit 17 % de moins. Une stratégie quasi optimale à sept tranches coûte 40,8 points de base, soit 32 % de moins (rapporté, planches de juillet 2012, table 1).

Les critiques connues

Huberman et Stanzl (2004), Price Manipulation and Quasi-Arbitrage, Econometrica, vol. 72, n° 4, p. 1247-1275. Quand l'impact est permanent et indépendant du temps, seules des fonctions d'impact linéaires excluent le quasi-arbitrage et supportent des prix viables. Quand il existe aussi un impact temporaire, seul le permanent doit être linéaire, le temporaire pouvant prendre une forme plus générale. Le résumé a été consulté, l'article non.

Almgren (2005), Equity market impact, Risk, juillet 2005, p. 57-62. Estime l'exposant de l'impact temporaire à \(\beta \approx 0{,}6\), donc concave, alors que le modèle de 2001 le suppose linéaire. Cité par Gatheral, non consulté directement.

Gatheral (2010), dont les quatre conséquences sont détaillées plus haut.

Lorenz et Almgren (2011), Mean-Variance Optimal Adaptive Execution, Applied Mathematical Finance, vol. 18, n° 5, p. 395-422. Leur résumé dit qu'une stratégie adaptative améliore strictement la stratégie statique optimale au sens moyenne-variance. Il ajoute que la règle est « agressive quand on est dans la monnaie ». On accélère quand le prix évolue en sa faveur, en dépensant une part du gain pour réduire le risque. La lecture usuelle en tire l'incohérence dynamique de la variance du coût, c'est-à-dire qu'une trajectoire optimale en \(t_0\) cesse de l'être en cours de route ; cette formulation est une INTERPRÉTATION, elle ne figure pas telle quelle dans le résumé consulté. Résumé consulté, article non consulté.

Obizhaeva et Wang, cités par Gatheral, modélisent la résilience du carnet d'ordres avec \(G(t-s) = e^{-\rho(t-s)}\) et \(f(v) \propto v\). Sous ce noyau, la stratégie optimale n'est pas continue : un bloc à l'ouverture, un bloc à la fermeture, et un taux constant \(\rho\) entre les deux. Rien à voir avec la sinusoïde hyperbolique d'Almgren et Chriss.

Alfonsi, Schied et Slynko (2012) ajoutent une irrégularité que la non-manipulation classique ne capte pas. Ils l'appellent manipulation déclenchée par la transaction : le coût d'un programme de vente peut baisser si l'on y insère des achats. Leur théorème, tel que rapporté par Gatheral en juillet 2012, donne la condition qui l'exclut. Si le noyau \(G\) est convexe et d'intégrale finie près de zéro, la stratégie optimale existe, est unique et est monotone. Si \(G\) n'est pas convexe au voisinage de zéro, la manipulation déclenchée apparaît.

Les problèmes de réplication connus

Il n'y a pas de données à retrouver, donc pas de problème de réplication au sens habituel. Répliquer, ici, c'est refaire l'arithmétique de la table 1 et redessiner les figures 1 et 2. Le jeu de paramètres est entièrement publié, ce qui rend la vérification décidable.

Une incohérence a été trouvée dans le document de travail de décembre 2000. La table 1, p. 25, annonce « Static holdings 11,000 shares » pour \(\lambda_u = 10^{-6}\). Le texte de la section 4.1, p. 26, écrit au contraire « the parameters of Section 3.4 give approximately x̄ = 1,100 shares, or 0.11% of our initial portfolio ». Or la formule (25) donne

\[ \bar{x} = \frac{\alpha}{2\lambda\sigma^2} = \frac{0{,}02}{2 \times 10^{-6} \times 0{,}95^2} = 11\,080 \text{ actions} \]

soit 1,11 % du portefeuille initial d'un million d'actions. La table est juste et le texte est faux d'un facteur dix. Calcul mesuré le 2026-09-01 sur le document de travail de décembre 2000. La version du Journal of Risk n'a pas été vérifiée et a pu corriger la coquille.

Quatre autres nombres du cas type ont été recalculés et concordent (mesuré, 2026-09-01). L'approximation \(\sqrt{\lambda\sigma^2/\eta}\) vaut 0,6008, le \(\tilde{\kappa}\) corrigé vaut 0,6164 et le \(\kappa\) exact de l'équation implicite vaut 0,6071. Les trois sont compatibles avec le « \(\kappa \approx 0{,}6\) par jour, \(\kappa T \approx 3\) » de l'article. Enfin \(\sigma\sqrt{T}\) vaut 2,124 $/action contre les 2,12 imprimés.

Du côté de Gatheral, le point dur est ailleurs : l'article publié n'est pas accessible. Les deux jeux de planches consultés portent les énoncés et les exemples, mais pas nécessairement toutes les hypothèses techniques des démonstrations. Toute réplication devra obtenir la version Quantitative Finance avant de traiter les lemmes comme établis.

Les biais possibles

La marche aléatoire arithmétique sans dérive. Les auteurs l'assument pour des horizons courts, où la différence avec un mouvement géométrique est négligeable (note 8, p. 8). Le cas type porte pourtant sur cinq jours, ce qui est déjà le haut de la fourchette.

Les paramètres d'impact sont posés, pas estimés. \(\eta\) et \(\gamma\) viennent de deux règles empiriques déclarées comme telles dans l'article. Leur statut est celui d'un précepte, et un projet de réplication qui les calibre sur des données réelles ne réplique plus le même objet.

L'impact temporaire linéaire est contredit empiriquement. Almgren (2005) estime \(\beta \approx 0{,}6\). L'écart n'est pas cosmétique : c'est lui qui supprime l'existence même d'un optimum sous décroissance en loi de puissance.

Le risque est mesuré par la variance du coût, et une stratégie révisable fait strictement mieux. C'est le résultat de Lorenz et Almgren (2011). La stratégie de 2001 n'est donc optimale que sous engagement préalable de ne pas réviser, ce que l'article assume en démontrant l'optimalité statique sous SA dynamique de prix (note 10, p. 13).

Aucune saisonnalité intrajournalière du volume. La stratégie « naïve » à taux constant en TEMPS n'est donc pas la stratégie à taux constant en VOLUME que les courtiers appellent VWAP. Sur une séance en U, les deux diffèrent nettement, et le repère de comparaison change.

Le paramètre \(\lambda\) n'est pas observable. L'article propose deux voies de calibration, une position statique cible qui donne \(\lambda = \alpha/(2\sigma^2\bar{x})\), et la voie de la valeur en risque avec \(\lambda_v = 1{,}645\) à 95 %. Le résultat publié dépend de ce choix, et il n'a pas de contrepartie de marché.

Deux points non vérifiés au 2026-09-01. Le contenu de l'annexe A sur les portefeuilles multi-titres n'a pas été lu en détail. La section 4, sur la corrélation sérielle et les changements de régime, non plus.

Nos décisions d'implémentation

non commencé au 2026-09-01

Nos écarts avec l'article

non commencé au 2026-09-01

Nos résultats

L'étude 010 du 2026-09-02 n'applique pas le programme d'exécution d'Almgren et Chriss. Elle emploie la loi d'impact en racine carrée, celle que la note attribue à Almgren (2005) et à Gatheral (2010), pour mesurer la capacité de deux stratégies. Statut modélisé, coefficient déclaré à un. Le momentum de série temporelle sur 28 fonds cotés a un capital d'annulation de 44,0 M$ en forme fermée. Mais la participation dépasse dix pour cent du volume quotidien dès 84 940 $, sur des fonds de devises, et c'est cette borne qui est retenue. L'arbitrage statistique a une capacité nulle, son brut ne couvrant pas les cinq points de base de demi-écart sur 1996-2026, et l'impact y ajouterait 9,3 % par an au premier million.

Notre contrôle de robustesse

La forme fermée et le moteur se contrôlent l'un l'autre : relancé au capital d'annulation, le moteur rend un net moyen nul à 1e-12 quand rien n'est écrêté, ce qu'un test exige. Diviser le coefficient par deux multiplie le capital d'annulation par quatre, étaler l'exécution sur cinq séances le multiplie par cinq, mesuré à la quatrième décimale sur les deux stratégies. La borne par le plafond de participation, elle, est fragile : c'est un maximum sur tous les rééquilibrages, et changer le nombre de séances valides d'une fenêtre l'a déplacée d'un facteur cinq.

Références

• Almgren, R. et Chriss, N. (2000). Optimal Execution of Portfolio Transactions. Document de travail, décembre 2000, 42 p. Publié dans Journal of Risk, 3(2), 5-39 (2001). https://www.smallake.kr/wp-content/uploads/2016/03/optliq.pdf
• Gatheral, J. (2010). No-dynamic-arbitrage and market impact. Quantitative Finance, 10(7), 749-759. https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1292353 (non accessible au 2026-09-01)
• Gatheral, J. (2009). No-Dynamic-Arbitrage and Market Impact. Planches, École polytechnique, 5 janvier 2009, 47 p. https://pdfs.semanticscholar.org/3683/ecb4dae470f4df219d65bb6491d3c7fd4b78.pdf
• Gatheral, J. (2012). Optimal order execution. Planches, Scuola Normale Superiore, Pise, 13 juillet 2012, 80 p. http://mathfinance.sns.it/wp-content/uploads/2010/12/Gatheral_Optim_Exec.pdf
• Huberman, G. et Stanzl, W. (2004). Price Manipulation and Quasi-Arbitrage. Econometrica, 72(4), 1247-1275. https://econpapers.repec.org/RePEc:ecm:emetrp:v:72:y:2004:i:4:p:1247-1275
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• Lorenz, J. et Almgren, R. (2011). Mean-Variance Optimal Adaptive Execution. Applied Mathematical Finance, 18(5), 395-422. Non consulté.
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